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        CRC循環冗余算法原理

        作者:佚名   來源:本站原創   點擊數:  更新時間:2014年11月22日   【字體:

        Cyclic Redundancy Check循環冗余檢驗,是基于數據計算一組效驗碼,用于核對數據傳輸過程中是否被更改或傳輸錯誤。

         

        算法原理

        假設數據傳輸過程中需要發送15位的二進制信息g=101001110100001,這串二進制碼可表示為代數多項式g(x) = x^14 + x^12 + x^9 + x^8 + x^7 + x^5 + 1,其中g中第k位的值,對應g(x)中x^k的系數。將g(x)乘以x^m,既將g后加m個0,然后除以m階多項式h(x),得到的(m-1)階余項r(x)對應的二進制碼r就是CRC編碼。

        h(x)可以自由選擇或者使用國際通行標準,一般按照h(x)的階數m,將CRC算法稱為CRC-m,比如CRC-32、CRC-64等。

        g(x)和h(x)的除運算,可以通過g和h做xor(異或)運算。比如將11001與10101做xor運算:

        明白了xor運算法則后,舉一個例子使用CRC-8算法求101001110100001的效驗碼。CRC-8標準的h(x) = x^8 + x^7 + x^6 + x^4 + x^2 + 1,既h是9位的二進制串111010101。

        經過迭代運算后,最終得到的r是10001100,這就是CRC效驗碼。

        通過示例,可以發現一些規律,依據這些規律調整算法: 

        1. 每次迭代,根據gk的首位決定b,b是與gk進行運算的二進制碼。若gk的首位是1,則b=h;若gk的首位是0,則b=0,或者跳過此次迭代,上面的例子中就是碰到0后直接跳到后面的非零位。

        2. 每次迭代,gk的首位將會被移出,所以只需考慮第2位后計算即可。這樣就可以舍棄h的首位,將b取h的后m位。比如CRC-8的h是111010101,b只需是11010101。 

        3. 每次迭代,受到影響的是gk的前m位,所以構建一個m位的寄存器S,此寄存器儲存gk的前m位。每次迭代計算前先將S的首位拋棄,將寄存器左移一位,同時將g的后一位加入寄存器。若使用此種方法,計算步驟如下: 

        ※藍色表示寄存器S的首位,是需要移出的,b根據S的首位選擇0或者h。黃色是需要移入寄存器的位。S'是經過位移后的S。

        查表法

        同樣是上面的那個例子,將數據按每4位組成1個block,這樣g就被分成6個block。

        下面的表展示了4次迭代計算步驟,灰色背景的位是保存在寄存器中的。 

        經4次迭代,B1被移出寄存器。被移出的部分,不我們關心的,我們關心的是這4次迭代對B2和B3產生了什么影響。注意表中紅色的部分,先作如下定義:

           B23 = 00111010
           b1 = 00000000
           b2 = 01010100
           b3 = 10101010
           b4 = 11010101
           b' = b1 xor b2 xor b3 xor b4

        4次迭代對B2和B3來說,實際上就是讓它們與b1,b2,b3,b4做了xor計算,既:

           B23 xor b1 xor b2 xor b3 xor b4

        可以證明xor運算滿足交換律和結合律,于是:

           B23 xor b1 xor b2 xor b3 xor b4 = B23 xor (b1 xor b2 xor b3 xor b4) = B23 xor b'

        b1是由B1的第1位決定的,b2是由B1迭代1次后的第2位決定(既是由B1的第1和第2位決定),同理,b3和b4都是由B1決定。通過B1就可以計算出b'。另外,B1由4位組成,其一共2^4有種可能值。于是我們就可以想到一種更快捷的算法,事先將b'所有可能的值,16個值可以看成一個表;這樣就可以不必進行那4次迭代,而是用B1查表得到b'值,將B1移出,B3移入,與b'計算,然后是下一次迭代。

        可看到每次迭代,寄存器中的數據以4位為單位移入和移出,關鍵是通過寄存器前4位查表獲得
        ,這樣的算法可以大大提高運算速度。

        上面的方法是半字節查表法,另外還有單字節和雙字節查表法,原理都是一樣的——事先計算出2^8或2^16個b'的可能值,迭代中使用寄存器前8位或16位查表獲得b'。
         

        反向算法

        之前討論的算法可以稱為正向CRC算法,意思是將g左邊的位看作是高位,右邊的位看作低位。G的右邊加m0,然后迭代計算是從高位開始,逐步將低位加入到寄存器中。在實際的數據傳送過程中,是一邊接收數據,一邊計算CRC碼,正向算法將新接收的數據看作低位。

        逆向算法顧名思義就是將左邊的數據看作低位,右邊的數據看作高位。這樣的話需要在g的左邊加m0,h也要逆向,例如正向CRC-16算法h=0x4c11db8,逆向CRC-16算法h=0xedb88320。b的選擇0還是h,由寄存器中右邊第1位決定,而不是左邊第1位。寄存器仍舊是向左位移,就是說迭代變成從低位到高位。

         

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